細說古典概型的特征和概率計算公式
時間：2020-12-14 20:08:38 來源：達達文檔網 本文已影響 人 
潘桂蘭
【內容摘要】首先從理論上詳細解讀古典概型的特征、概率計算公式以及怎樣建立概率模型;然后具體指出在理解、認識上應注意的幾個問題;最后結合舉例剖析，具體闡明古典概型的解題應用。
【關鍵詞】古典概型;特征;概率;基本事件
一、要點精講
1.古典概型的特征
（1）對于什么樣的隨機試驗，可以根據試驗結果的對稱性來確定隨機事件發生的概率？
答：該隨機試驗應同時滿足以下兩個特點：①出現的結果必須是有限個;②出現的結果的可能性必須是相等的。
（2）古典概型具有如下兩個特征：
①試驗的所有可能結果只有有限個，而且每次試驗只出現其中的一個結果;②每一個試驗結果出現的可能性相同。
2.古典概型的概率計算公式
（1）基本事件：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。
（2）概率公式：如果一次試驗所有可能出現的結果有n個（即此試驗由n個基本事件組成），而且所有結果出現的可能性相等，那么每一個基本事件的概率都是1/n。
如果某個事件A包含的結果有m個（即包含的基本事件有m個），那么事件A的概率為P（A）=m/n，這就是古典概型的概率計算公式。
（3）對于古典概型，如何計算某個事件A的概率？
答：①分析一次試驗由多少個基本事件組成（即求n=？）;②分析某個事件A包含多少個基本事件（即求m=？）;③利用公式P（A）=m/n，即可求得某個事件A的概率。
3.建立概率模型
（1）建立一個古典概型時，應注意哪些問題？
答：將什么看作是一個基本事件，是人為規定的，并不絕對化.每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現.基本事件的總個數是有限的，并且它們的發生是等可能的。
（2）當基本事件的總個數n較小時，計算n和m（某事件A包含的基本事件的個數）取值的最基本而且最有效的方法是什么？
答：先通過畫樹狀圖，直觀地將所有可能的試驗結果一一列舉出來;然后數一數，即知n和m的取值;最后利用公式P（A）=m/n，即可求得事件A的概率。
（3）如何優化古典概型？
答：要注重發散思維，多從不同的角度去考慮一個實際問題;同時應注意建立的模型要使試驗的所有可能結果數變得盡可能地少，從而問題的解決也就變得盡可能地簡單。
二、 特別提醒
1. P（A）=m/n，既是古典概型的概率的定義，又是計算這種概率的基本方法.在運用這個公式時，要注意：必須判斷這幾種結果是等可能出現的.例如：先后拋擲兩枚均勻的一元硬幣，若認為只出現“2個正面”、“2個反面”和“1正1反”這3種結果，那就不會等可能.正確理解：共出現“正正”、“正反”、“反正”和“反反” 這4種等可能的結果。
2.教材第167頁例2的解法4應引起高度重視。該解法的切入點是：優先考慮目標問題的約束條件，至于其他的情形可以不考慮，這是因為概率本身是一個比值。
三、典例剖析
例1：一個口袋內裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球。
（1）具體指出共有多少種不同的結果？
（2）具體指出“摸出1白1黑”共有多少種不同的結果？
（3）求“摸出1白1黑”的概率。
解析：
（1）共有6種不同的結果，分別是：（白，黑1），（白，黑2），（白，黑3），（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3）。
（2）共有3種不同的結果，分別是：（白，黑1）;（白，黑2）;（白，黑3）。
（3）由于4個球的大小相等，因此做一次試驗（即：摸出2個球）所出現的各種不同結果的可能性是相同的，這個試驗屬于古典概型。
又由（1）知基本事件共有6個，由（2）知事件“摸出1白1黑”共包含3個基本事件.故“摸出1白1黑”的概率為P=3/6=1/2。
評注：在羅列不同的結果時，要注意考慮全面，努力做到不重復不遺漏。
例2：袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現摸球3次，每次都是有放回地隨機摸取一個球。
（1）試問：一共有多少種不同的結果？請列出所有可能的結果;
（2）若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得分為5的概率。
解析：
（1）一共有8種不同的結果，列舉如下：（紅，紅，紅），（紅，紅，黑，），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅），（紅，黑，黑），（黑，紅，黑），（黑，黑，紅），（黑，黑，黑）。
（2）記“3次摸球所得總分為5”為事件A，則事件A包含的基本事件共有3個，分別為（紅，紅，黑），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅）。
又由（1）知基本事件總數為8，故所求概率為P（A）=3/8。
評注：本題極易出錯，審清題意非常重要——由于題設要求“每次都是有放回地隨機摸取一個球”，所以每次摸取時的情景相同（袋中有1個紅球、1個黑球）。
例3：將一個骰子拋擲2次，求“兩次擲出的點數都是偶數”的概率。
解析：當第一次擲出的點數為a（a=1，2，3，4，5，6）時，第二次擲出的點數只可能是1，2，3，4，5，6中的某一個，從而做一次試驗所得到的基本事件共有6×6=36個。
要使兩次擲出的點數都是偶數，則應滿足：當第一次擲出的點數為偶數b（b=2，4，6）時，第二次擲出的點數只可能是2，4，6中的某一個.從而知事件“兩次擲出的點數都是偶數”共包含3×3=9個基本事件.又易知此試驗屬于古典概型，故所求概率為P=9/36=1/4。
評注：考查基本事件的個數常用處理方法有：①先按點坐標的形式給出，再數之;②先按表格的形式給出，再數之;③規律性較強時，可通過乘法運算迅速求得（例如本題）。
【參考文獻】
[1]林品吟，何小亞，朱源.古典概型的教學思考與教學新設計[J].中學數學雜志，2016（5）：20-24.
[2]宮前長.新課程古典概型教學：困惑、解惑與感悟[J].中學數學，2014（9）：4-8.
（作者單位：甘肅省玉門市第一中學）
